
\chapter{独立需求模型 \label{sec:indepent_demand_model}}

独立需求模型假设旅客并不在产品-价格之间做选择，每个产品-价格都有一些独立的潜在的旅客。并且只要这种产品-价格开放，这些旅客只会购买该种类的产品-价格。独立需求假设主要用于研究上限式控制。在本文可考证的范围内，Ciancimino等\cite{CianciminoInzerillo-365}率先在铁路领域首先使用了独立需求模型研究分割式上限控制模式的优化。此文中考虑了“$N=1$”型参数控制模型，并且假设在每个产品-价格的潜在旅客的数量是随机的。由于是单周期问题，这里暂时省去脚标$n$。

假设产品-价格$j$的潜在购买人数是用随机数$Y_{j}$，其概率密度函数为$p(y)$。问题的决策变量是产品-价格$j$的上限$z_{j}$。根据假设，某一产品-价格的销量等于其销售上限$z_{j}$和潜在的旅客人数$Y_{j}$中的最小值，即$\min\left(z_{j},Y_{j}\right)$。目标函数为售票收益的期望最高，如式(\ref{eq:2-8})所示。

\begin{equation}
\max_{\boldsymbol{z}}\sum\limits _{j\in J}{r_{j}}\min\left({{z_{j}},{Y_{j}}}\right)\label{eq:2-8}
\end{equation}

带入$Y_{j}$的概率密度函数$p(y)$，目标函数变为式(\ref{eq:2-9})所示。

\begin{equation}
\max_{\boldsymbol{z}}\sum_{j\in J}r_{j}\left(\int_{l_{j}}^{z_{j}}yp(y)\mathrm{d}y+z_{j}\int_{z_{j}}^{\infty}\mathrm{p}(y)\mathrm{d}y\right)\label{eq:2-9}
\end{equation}

约束(\ref{eq:2-10})表示产品-价格销量不能超过存量单位数量。其中，$\mathbf{B}$ 表示产品-价格与列车-区间的关系向量矩阵，$\boldsymbol{c}$表示初始的列车-区间存量单位状态。
\begin{equation}
\mathbf{B}\boldsymbol{z}\leqslant\boldsymbol{c}\label{eq:2-10}
\end{equation}

另外，此模型中还考虑了每个产品-价格销量上限的上下界，如式(\ref{eq:2-11})所示。产品-价格的上限低于最低的服务保证和高于需求都没有意义。
\begin{equation}
\quad l_{j}\leqslant z_{j}\leqslant u_{j},\ \forall j\in J\label{eq:2-11}
\end{equation}

Ciancimino等\cite{CianciminoInzerillo-365}在$Y_{j}$服从正态分布的情况下，通过全局超线性收敛算法求解了随机需求模型。此模型的优点是形式简单，求解效率高。另外，此文还列举了一个确定性需求的模型，即用$E[Y_{j}]$代替
$Y_{j}$放入目标函数中，此时目标函数变为式(\ref{eq:2-obj})。

\begin{equation}
\max_{\boldsymbol{z}}\sum\limits _{j\in J}{r_{j}}\min\left({{z_{j}},E[{Y_{j}}]}\right)\label{eq:2-obj}
\end{equation}

这个目标函数可以进一步被处理为一个线性表达形式，进而客票销售模型变为了线性规划形式，在求解的效率上具有优势。但是由于采用需求的期望代替了随机需求，通过求解此模型只能够得到一个近似的结果。

独立需求模型也能适用于“$N>1$”型问题，Wang Hua等\cite{WangWang-724}基于马尔科夫决策过程建立了一个多阶段的，基于独立选择模型的，考虑上限式控制模式的模型。它的决策变量是在每个阶段$n$，每个产品-价格$j$的上限$z_{n,j}$。

每个列车-区间剩余的存量数量向量形式记为$\mathbf{X}$。它的状态转移方程为式(\ref{eq:2-12})。 
\begin{equation}
\mathbf{X}_{n+1}=\mathbf{X}_{n}-\mathbf{A}(\mathbf{z_{n}}\wedge\mathbf{Y}_{n})\label{eq:2-12}
\end{equation}
其中： 
\begin{itemize}
\item $\mathbf{Y}_{n}$表示当前阶段产品-价格的潜在购买人数向量。 
\item $\mathbf{z_{n}}\wedge\mathbf{Y}_{n}$表示在阶段$n$实际的购票人数。对于任意一个产品-价格，实际的购票人数等于上限与潜在到达人数的最小值。 
\item $\mathbf{A}$表示列车-区间与产品-价格的关系矩阵。 
\end{itemize}
每个阶段的客票销售收入可以由式(\ref{eq:2-13})表示。 
\begin{equation}
R_{n}=\mathbf{r}^{\top}(\mathbf{z}\wedge\mathbf{Y}_{n})\label{eq:2-13}
\end{equation}

贝尔曼方程为式(\ref{eq:2-14})。 
\begin{equation}
V_{n}(\mathbf{x})=\max_{\mathbf{z}\in\mathcal{N}(\mathbf{x})}\mathbb{E}\left\{ \mathbf{r}^{\top}(\mathbf{z}\wedge\mathbf{Y}_{n})+V_{n+1}(\mathbf{x}-\mathbf{A}(\mathbf{z}\wedge\mathbf{Y}_{n}))\right\} \label{eq:2-14}
\end{equation}
其中，$\mathcal{N}(\mathbf{x})=\left\{ \mathbf{z}|\mathbf{A}\mathbf{z}\le\mathbf{x}\right\} $表示对产品-价格上限不能超过资源的约束。该模型的边界条件表示为式(\ref{eq:2-15})和(\ref{eq:2-16})。
\begin{align}
v_{N}(\mathbf{x}) & =0,\quad\forall\mathbf{x}\in\mathcal{X}\label{eq:2-15}\\
v_{n}(\mathbf{0}) & =0,\quad\forall n=1,\ldots,N\label{eq:2-16}
\end{align}

